2018. március 5., hétfő

Tiszteletet az axiómáknak


Kedves barátom!
Írod, hogy „véletlenül” belenéztem Obádovics Matematika című könyvébe, és Eukleidész axiómáit, posztulátumait olvasgatva, elgondolkodtál azon, miért nem értem mindegyiket?
Ahogy írod, a szerző összesen öt ilyen posztulátumot sorol fel, te hármat idézel:

III. Minden középpont körül tetszőleges sugárral kört rajzolhatunk.
IV. A derékszögek egymással mind egyenlők.
V.  Ha két egyenest egy harmadik metsz, akkor azok, végtelenül meghosszabbítva őket,  a metszőnek azon az oldalán találkoznak, amelyen a belső szögek összege kisebb két derékszögnél.

A III. és IV. posztulátum szerinted evidens, de kérded, mint ahogy minden szög egyenlő másik ugyanakkora szöggel, miért pont a derékszög van kiemelve? Az V. posztulátumot viszont végképp zavarosnak találod.
Nos, nem keveset kérdezel, és mivel a matematikában még inkább igaz, hogy minden mindennel függ össze, egy rövid válaszban kimerítő választ adni. Mégis érdemes, fontos ezekről szót ejteni.
Szerintem a világszellem nem odaát, hanem itt van, és ha egyszerűen akar szólni, akar matematikaiul beszél.
Meggyőződésem szerint, ha van egy képzetünk – és ilyenek mindig bőven voltak, ma még több és fajsúlyosabb, lásd az idő és a tér „kezdete” a Nagy Bummban, demokrácia stb.) – és nem tudunk ennek a képzetnek egy korrekt matematikai modellt feleltetni, akkor ez a képzet hibádzik.
Közben az emberek döbbenetesen nagy része fél, szinte reszket, menekül a matematika elől. Talán ezen nem is kellene annyira csodálkozni. Hát nem féltünk-e évezredeken át a folyó szellemétől ás egyéb gonosz erőktől?
Igaz, néha egy matematikai feladat is tud az őrületbe kergetni, vagy még inkább egy rosszul sikerült matematikai tanár. De maga a matematika káprázatos. És békés. És izgalmas. Sokszor egy jó kriminél is izgalmasabb.
Bár itt nem azt kell kideríteni, hogy ki a gyilkos, hanem, ki miben tévedett?
A tévedések pedig sokfélék lehetnek: egészen triviális hibáktól a koncepcionális vitákig.
Például én komoly koncepcionális vitába keveredtem Eukleidésszel, erről ittlehet olvasni.
És most a kérdéseidre visszatérve: a matematika elméletek sokasága. Minden egyes elmélet axiómákkal kezdődik, és utána abból áll, hogy ezekből az axiómákból a logika és csak a logika eszközeivel minél több tételt levezetni. A tétel az adott elmélet „igazsága”, de ugyanaz egy másik elméletben lehet hamis. Az elméletek közötti vitákat pedig nem kell „elrendezni”. Az az elmélet, amelyben 2+2=4, ugyanannyit ér, mint az a másik, ahol 2+2=5.
Szép kis világ, mi? Ennek mi értelme van, olyan elméletet felépíteni (lehet), amelyben 2+2=5?
Ez, bizony, sokszor roppant hasznos lehet. A világban a mélyebb igazságokat sokszor éppen azáltal érjük el, hogy új, szokatlan szemszögből nézzük meg ugyanazt, amit évszázadokig valami megszokott képpen néztünk.
Ebből adódik, hogy az axiómákkal kapcsolatban fölöslegesek az aggályok. Nem tetszik egy axióma? Neked nem eléggé evidens? Vagy túl evidens? Kérem, tessék összeállítani egy másik elméletet. Ezért senki nem fog megszidni, ellenkezőleg.
No, persze, a valóságban egy új elmélet felépítése nem olyan egyszerű. Munkás feladat. A mai klasszikus geometria, becslésem szerint 25 844 tételt (levezetést) tartalmaz, ami 14 551 matematikus munkája, röpke 2300 év alatt. Ezt jövő héten megismételni más axiómákból kiindulva, nagy bravúr lenne.
Igaz, pár éven belül a Nagy Agy szuperszámítógépek (művésznéven: Mesterséges Intelligencia) ontani fogja az elméleteket.
Egy kicsit más, de nem kevésbé kérdés, amely már nem is tisztán matematikai (valamennyire az), nem tisztán logikai sem (valamennyire az is), hanem vastagon pszichológiai: mit fogadunk – alapvetően hallgatólagosan – „abszolút” evidenciának, és mit nem. Mi szükség van azt kimondani, hogy bármely pontban bármekkora sugarú kört rajzolhatunk? És vonalat húzni? Bárhol? Lehet-e bármelyik pontban pontot rajzolni? Miből lehet ezt levezetni?
Egy szó, mint száz, egy axiómarendszer értékeléséhez… tapintat, és hatalmas helyismeret kell.

Nem miden lett világos? Hát előreszólta, kedves barátom! De folytathatjuk, időnk van.


* * *

2018. március 4., vasárnap

Itt a vége, fuss el véle, Akhilleusz!


Nem régen valamelyik matematikai olvasmányom nyomán felötlött bennem egy hihetetlenül izgalmas hipotézis (értelemszerűen azt Szimeonov-hipozézisnek neveztem el, de ez egy másik történet). Kutatva a neves hipotézisek, rejtélyek, dilemmák és hasonlók között, hogy, hogy nem, belebotlottam a teknős és Akhilleusz történetébe. Annak idején, úgy érzem, lassan egy évszázada nagyanyám sokat és sokfélét mesélt nekem. Utólag is elámulok attól. hogy milyen csodálatos érzékkel és főleg milyen csodálatos természetességgel osztott meg velem gyermekmeséket, kevésbé gyermekmeséket, nagyon nem gyerekmeséket. Ezernyi történelmi, irodalmi, filozófiai és egyéb ismereteket is adagolt nap, mint nap. Már hogy ne lett volna ezek közt, Ezópus meséinek vidám társaságában a teknős és Akhilleusz története.
Nem tudom, kinek a fejében született az az örült hipotézis, hogy a leggyorsabb görög nem képes utolérni a teknős, ha az kap némi előnyt. Mert, ugyebár, enélkül a verseny sose fordult volna ilyen észbontó dilemmában: ha egyszerre indulnak versenyezni, a verseny nyomban és látványosan eldől. De nem, egy agyafúrt görög filozófus, Zénon ügyesen elrendezte a dolgot. Először megpiszkálva Akhilleusz gőgjét, kiprovokálta, hogy az adjon a teknősnek. De ez nem minden, most jön a nagy csavar: miután rávette Akhilleuszt arra, hogy adjon előnyt a teknőst, le is fújta a tényleges versenyt (az rövid idő alatt eldöntötte volna a kérdést), és átvette a szót. Azt kezdte magyarázni a futó bajnoknak – és köréjük gyűlt sok szájtátónak –, hogy, bizony, ezek után Akhilleusz soha, de soha nem fogja utolérni a teknős. Ez napnál világosabb: Akhilleusz pár ugrással ott terem, ahol a teknős áll, pontosabb állt, amikor Akhilleusz nekiiramodott. De mivel bármilyen távot csak bizonyos idő alatt lehet megtenni, ez idő alatt a teknős, akármilyen lassan is haladjon, mégis előbbre jut. És akkor újra ugyanez, és újra, a végtelenségig. Vagyis soha, de soha nem lesz utolérve.
Jól emlékszem, gyerekként csak vállat rántottam: ez annyira komolytalan, hogy kár ezzel foglalkozni. Ám idővel, bevallom sok idővel, miután elméleti matematikából diplomáztam és filozófiából doktoráltam, kezdtem lassan én is komolyabban venni a problémát, hasonlóan az agorabeli szájtátókhoz. Mert lássuk be: a logika azon alapul, hogy mondunk valami egyszerű állítást, erre pedig nincs jogunk olyanokat mondani, hogy „hiszem”, „nem hiszem”, „valószínű”, „nem valószínű”, „nem életszerű”. Nem lehet vállat rántani. És főleg nem lehet azt mondani: „ez hülyeség”. Két válasz lehetséges: „igen” vagy „nem”. (Ha az egyiket sem tudjuk kimondani, nos, ez az igazi hipotézis!)
Ha ezt a szigorú, de egyetlen üdvözítő módszert tiszteletben tartjuk Zénon dilemmája valóban nem látszik másképpen megoldható, mint azzal, hogy Akhilleusz valóban soha nem fogja utolérni a teknőst. Ami viszont a valóságban nagyon nem így van. Hát akkor, hol van a hiba? Mert valami itt sántít. Ez pedig nem csak a formális tudományokat, a formális logikát és a matematikát halálosan veszélyezteti, de hasonlóképpen az összes tudomány világát.
És jött a megvilágosodás!
Zénon karnyújtásnyira került a kvantum felfedezéséhez, de nem, erre még majd két és fél ezer évet kell várni Max Plankig. (A sors inkább játékos kedve, mint iróniája, hogy miután e tárgyban is megvilágosodtam, kezembe akadt egy fölöttébb bizarr könyv bizonyos Hans Gossmanntól, aki meglehetősen zavarosan magyarázta a történetet, egy sajtdarab feldarabolásával példálozva.)
A „modern” tudomány általában már nem tekinti valós problémának Zénon paradoxonát, azt a kétségtelenül jelentős matematikai eredményt felhozva, hogy egy végtelen sor végösszege igenis lehet véges.
De akik ezzel megnyugtatják magukat, nevetséges tévedésben vannak: mert a végtelen sor összegének véges volta ugyan bizonyítható, de nem „várható ki”. Különösen, ha a verseny minden szakasza után beiktatnánk egy „helyzetértékelést” is, lett légyen ez milliomod másodperc.
Hol tehát a megoldás kulcsa?
Nos, Zénon valószínűleg jóhiszeműen tévedett abban, hogy Akhilleusz bármilyen távot tud legyőzni. És itt jelenik meg a gondolkodás forradalmi fogalma, a kvantum. Akhilleusz esetében ez teljesen nyilvánvaló módon ez egy futólépés. Ennél kisebbet Akhilleusz nem tud megtenni. Akhilleusz nem tipeg lábujjhegyen. Ha a teknős egy lépésen belül van (jó nem egészen annak a végén), vesztett. A következő lépéssel Akhilleusz lehagyja. Ennyi helyesbítés kell a „premisszákban”, hogy kiszabaduljunk a paradoxon csapdájából, a szent logika, az igen-nem felelés törvényeit nem megsértve.
Ezzel ez a két és fél ezeréves fejtőrés szerencsésen véget ért.
A történet viszont marad. Olyan bájas példa a kvantum mibenlétének megértetéséhez.


* * *