Ritirata notturna di Madrid de Boccherini.

* * *

A közhasznú munka nem büntetés

Ma (is) egy elkeserítő – elkeserítő, és felháborító – tudósításfélét olvasok szép hazánk vezető weboldalán. Nem öröm megosztani, de a tanulságok kedvéért meg kell tenni. Íme, a teljes szöveg:

Megfenyegettek, rángattak és megvertek egy gyereket 2019 novemberében egy Borsod-Abaúj-Zemplén megyei iskolában: a gyerekre osztálytársa és annak anyja támadt rá egy kora délutánon, tanítási óra közben, egy korábbi vita miatt, írja honlapján az Ügyészség.hu.

Miután megfenyegették a gyereket, a nő fia ütni kezdte az osztálytársat, majd amikor ő befejezte, a nő többször megütötte a fiút, és ruhájánál fogva rángatta. A verés azért ért véget, mert az iskola karbantartója közbeavatkozott.

„A vádlott cselekménye alkalmas volt arra, hogy az azt észlelő osztályközösség tagjaiban megbotránkozást és riadalmat keltsen” – írják. A nő beismerte a tettlegességet, szabadlábon van. A Szikszói Járási Ügyészség garázdaság miatt emelt vádat, és tárgyalás mellőzésével, közérdekű munka büntetésre tett indítványt.

Szörnyű, hogy az erőszak lassan mindennapi jelenség iskoláinkban. Diák diákot ver, de többnyire többen egy szerencsétlent (mi tagadás, ősidők óta előfordul). Tanár diákot ver (mi tagadás, ez sem volt soha ritkaság). Diák tanárt ver (ez viszont már egy kicsit „a vég kezdete” ízű). Tetézve azzal, hogy szülő is ver. Elveri ő a saját gyerekét is, ha kell. Elveri „a másik” gyereket is. Elveri a tanárt, ha itt tartunk

Ne legyünk szemforgatók: erőszak, tettlegesség mindig is volt. Sőt, vélhetően sokkal, de sokkal több verés volt az elmúlt évszázadokban és évezredekben, éspedig mindenhol: otthon, az iskolában, az utcán, munkahelyen fogdában.

Ma talán tized annyi erőszak van. Mégis ez a tizedannyi erőszak sokkal kirívóbb és veszélyesebb, mint régen. Azért, mert az emberiség az elmúlt évszázadokban hatalmas haladást ért el az igazi emberi civilizáció felépítésében a barbárság földjén. És most a visszaszivargó erőszak – ugyanúgy, mint a barbárság egy sor más mérge aláássa a civilizáció kiszenvedett eredményeit.

Túlzás lenne ez az aggályoskodás?

Ha valaki becsületesen és nem utolsósorban értelmesen nézi a világ dolgait, nem tartaná ezt túlzásnak, éspedig mindjárt két nyomós ok miatt: egyrészt a tendenciák figyelmeztetőek, másrészt a társadalmi bénultság, szinte tehetetlenség.

Jeleskedéssel senkit sem lehet gyanúsítani ebben a történetben, talán az iskola „karbantartója” kivétel. A szomorú, hogy minden látható és láthatatlan szereplő leszerepelt, csúful. Enyhén szólva leszerepelt az anya, de ebbe a szégyenletes körbe tartozik annak verekedő fia, bizonyára az egészre okot adó áldozat is hibázott. És mi van az osztály közösségével? Hol volt – akkor és régebben is – a tanár, az iskola? Elmehetünk-e szó nélkül az ügyészség, bulvárlap, a politikusok szerepe mellett?

De mi gondunk lehet itt az ügyészséggel? Valóban méltánytalan most ezt az ő nyakába varrni, de a probléma hihetetlenül komoly: a közhasznú munka nem büntetés!

Leírom még egyszer: a közhasznú munka nem büntetés.

A közhasznú munka jótett, jó érzés, öröm, dicsőség.

Éppen ezért előírható, elírandó kellene – mint egy orvosság – mindenki számára, aki rosszat tett, jogot sértett, de a jó útra való visszatalálás érdekében, és semmiképpen nem büntetésként.

Nem vagyok híve a szigorú, jobban mondva az idejét múlt, emberhez méltatlan büntetés politikának. Ellenkezőleg, elkötelezett híve vagyok a humánus büntetéspolitikának. Ennek részletezése nem férne bele ebbe a cikkbe, de fölösleges is, hiszen az több helyen olvasható. De nem fölösleges emlékeztetni erre.

Egy mondat erejéig a bulvárlap felelősségére is kellene kitérni: szánalmas ilyen sután átvenni az ügyészség weboldaláról a suta tájékoztatást, csak azért, hogy olcsón, utánajárás nélkül meglegyen az kis hazai szörnyűségek napi adagja. Kihalt a magyar újságírás régi kitűnő műfaja: a szocigráfiai értékű riport (a hajdani Népszabadság és a régi Nők Lapja – és sokan mások – jeleskedtek ezzel).

Végül: érdemes a politika, a politikusok, törvényhozók felelősségéről szót ejteni?

Bár van még egy lépcsőfok, nem a politikusainkkal végződik a sor. Hogy ki van még?

Hát mi! Tudjátok, így kezdődik a világ lebüszkébb (bár nem feltétlenül a legjobb) alkotmánya: Mi, a Nép…

* * *

Kell a vihar már

Mit

vets, jó

barátom?

- Szelet vetek.

Kell a vihar már!

Szimeonov Todor apevái

* * *

A Fibonacci sorozatcsalád 4.

A további kutatás a hármas összegű Fibonacci-sorozatok területén hatalmas feladat, amelyre egyéb munkáim miatt jelenleg nem tudok vállalkozni.

Ám nagy úr a kíváncsiság, és szabad perceimben majd biztosan előveszek további eseteket a 27-ből (az előző részben röviden bemutatott négy után). Egyet máris megvizsgáltam, és bámulatosnak érzem a helyzetet. A Fib111-rúl van szó, ahol tehát az előző három tag minegyike elé tesszük az előjelváltó tényezőt, úgy, hogy azokban a hatvány a három tag összege plusz 1.

Azonnal meg lehetett győződni, hogy a sorozat viselkedése sokféle lehet, és ez a kezdő három tag megválasztásától függ. Íme, nyolc különböző eset.

Látható, hogy a Fib111 tud „rendesen is viselkedni, mint egy hagyományos Fibonacci sorozat (1. példa). De könnyen ciklusba is esik, amely viszont itt 8 tagú (2. és 3. példa).

Ennél is érdekesebb viszont egy merőben új jelenség, amelyet nem tudok másképpen nevezni, mint szuperperiódus. Ez olyan 8 tagú ciklusokból áll, amelyek két-két részből állnak, amelyek mindegyik újra két-két tagból (alappárból) áll. Az első alappárok abszolút értéke állandó, csak a pár második tagjának előjele – szabályosan – váltakozik. Ugyanakkor a második alappár tagjai abszolút értékben ciklusról ciklusra nőnek, de megint szabályos előjel váltakozással. Tehát ezek az esetek (4., 5., 6. és 7. példa) úgy viselkednek, mint egy egyre gyorsabban oszcilláló függvény, amelynek van egy fix tengelye.

Az is érdekes, hogy ez a négyfajta szuperperiodus más-más tagtól kezdődik (a kezdő tagoktól függően).

Nem kevésbé érdekes a negyedik típusú viselkedés (8. példa). Itt is ciklust találunk, de szelíd kurta (4 tagos) ciklust.

Első nekifutásra ennyit lehetett tapasztalni Fib111-nél. Határozottan nem kevés.

* * * *

A Fibonacci sorozatcsalád 3.

A Fibonacci sorozat új típuscsaládja annyira érdekesnek tűnt, hogy nem tudtam ellenállni a csábításnak és több időt kényszerültem áldozni erre, mint amennyi tartalékom volt. Ami nem tartható fen sokáig, ha nem akarom veszélyeztetni aktuális feladataim. De az ember tartozik új eredményeinek, a rutin feladatok nem élvezhetnek feltétel nélküli elsőbbséget. Természetesen, ha az eredmények valóban újak. Ma viszont ki lehet biztos abban, mi az, ami már nem új?

Így tanácsosnak gondoltam konzultálni egy jó szakemberrel. Vélhetően ma Magyarországon kevés ember tud többet a Fibonacci számokról, mint Gerőcs László, aki egy kitűnő könyvet írt a témáról, éspedig éppen a Fibonacci sorozatok általánosításaira fókuszálva (ez kötetének címe is). Miután megmutattam neki az előző két részét ennek a cikknek, Gerőcs László nem tudta lehűteni lelkesedésemet azzal, hogy ez a fajta általánosítás ismert. Ellenkezőleg, elsőre adott véleménye, de még a felvetett kérdései is komoly biztatást adtak.

Konkrétan is felvetette a kérdést, amely az említett műve nyomán érthető is: vajon lenne-e hasonló hatás a Fibonacci sorozat olyan általánosításánál, amikor nem a harmadik tag az előző kettő, hanem a negyedik, vagy éppen a k-ik tag az előző három, illetve az előző k-1 tag összege.

A kérdés valóban jogos, mondhatni kézenfekvő. De ennek a a biztatásnak nem csak szakmai értéke volt számomra, hanem igen hatásosnak is bizonyult. Késedelem nélkül kezdtem vizsgálni ezt a fajta általánosítást. Legelőször azt kellett felmérni, hogy a feladat mennyiségi szempontból nem kicsi. Ha csak az első kategóriát vizsgáljuk, amikor három előző tagot adunk össze, 27 esettel állunk szemben, a 2. részben bemutatott meggondolás alapján.

Közben arra gondoltam, hogy a rengeteg fajta sorozat és azok általánosításai miatt, érdemes megfelelő jelölési rendszert rögzíteni. Eszerint a klasszikus, két előző tag összegével képződő sorozatokat Fi-vel jelölnénk, az általánosított, három előző tag összeadásával képződő sorozatot pedig Fib-bel (ahány az összeadandó, annyi a betű, így talán könnyen megjegyezhető).

Most nem untatnám az olvasót az összes 27 variáns felsorolásával, ízelítőként hármat említek: Fib0X1, Fib110, FibXX1.

A konkrét vizsgálatot a legegyszerűbb alcsoportban kezdtem, az, ami a témában tett legelső kísérlethez kapcsolódik: Fib0XX, FibX0X és FibXX0. És természetesen fel kellett ríni ezek mellé a „sztenderd” Fib-et, vagyis a FibXXX-et.

Sejthető, hogy itt vizsgálat alatt azt kell érteni, hogy számtalan kezdő értékekkel kellett sorozatokat generálni és szemügyre venni. Mi tagadás, az Excel birtokában ez „gyermekjáték” (milyen kár, hogy gyermekeink nem ilyen játékokat, hanem élethű háborúkat „játszanak” számítógépeiken).

Az első „alternatív” eset (Fib0XX) voltaképpen csalódás volt. A törzssorozat növekedési ütemét jelentősen csökkentette, de jellegében igen hasonlított hozzá. Ciklus nyomára sehogy sem akadtam (még).

Jóval izgalmasabbnak bizonyult a második eset (FibX0X). Ez többféleképpen tud viselkedni, de ami „tipikus”: egy oszcilláló sorozat jelentkezik, amelynek a minimumai (hullámvölgyei) azonos értékűek.

De a „csoda” nem maradt el: a harmadik eset (FibXX0) végre produkálta a ciklust. Amely most 8 tagú.

Közben tapasztaltam, hogy már ez az első három legegyszerűbb alternatíva egy sor különlegességet produkál. Sokaknak hosszú ideig kellene ezzel a 27 alternatívával játszaniuk, hogy kiismerjük ezeknek virágos lelkét.

Itt most csak egy összefoglaló példát tudok megosztani, és sok szerencsét kívánni azoknak, akik belevágnak egy felfedező kalandba a Fib erdőbe!

A számok

* * *

Carmina Burana - A magyarországi Waldorf-iskolák egyesített diákkórusa

* * *

A Fibonacci sorozatcsalád 2.

A fenti felfedezés után indokoltnak láttam az út folytatását. Két irányt láttam, és világos volt, hogy mind a kettőt ki kell próbálni.

Az egyik gondolat az volt, hogy váltsunk az előjeles tényező kitevőjének páros-páratlan jellegén, vagyis az ne F(n-2)+F(n-1) legyen, hanem F(n-2)+F(n-1)+1. Világos, hogy ez mindig az ellenkezőjére váltja az első tag előjelét, hiszen ha F(n-2)+F(n-1) páros, akkor F(n-2)+F(n-1)+1 páratlan és fordítva.

A másik irány az volt, hogy ilyen előjelváltó tényezőt a második tag elé is tegyünk.

Ez azt jelenti, hogy ha mind a két szempontból variálunk, 9 esetet kapunk, hiszen két különböző helyre három lehetőség közül egyet tehetünk.

Ez a három lehetőség és jelölésük:

X       –       semmi

0       –       F(n-2)+F(n-1)

1       –       F(n-2)+F(n-1)+1

E jelölések felhasználásával az első felfedezett sorozatot F0X-szel kellene jelölni. Tehát például az F11 képzési szabálya

F11(n)=((-1)^(F11(n-2)+F11(n-1)+1))* F11(n-2)+ ((-1)^(F11(n-2)+F11(n-1)+1))*F11(n-1)

Nyilvánvalóan ezekkel a jelölésekkel FXX nem más, mint az eredeti klasszikus sorozat.

De ami a lényeg: mind a 8 új alternatív sorozat periodikus, egy fölöttébb érdekes kivétellel. Az „utolsó”, éspedig a fent részletesen kiírt F11 sorozat pontosan fordítva viselkedik, mint a többiek, vagyis nála az Achilles-sarok az, hogy periodikus, egyéb esetben „majdnem” úgy viselkedik, mint egy „rendes” Fibonacci sorozat – de nem egészen, ugyanis megint csak periodikusan „kilő” egy-egy tagot, így a sorozat nem mondható monotonnak sem. Hasonló „anomális” figyelhető meg az F01-nél, ami kissé meglepő.

Lássuk most együtt a kilenc családtagot.

A felfedezés még egészen friss. Tekintettel arra, hogy maguk az új alternatív sorozatok alapvetően periodikusok, fix rövid periodussal, a szkeptikus hozzáállás azt sugallhatja, hogy itt nem lesz sok keresnivalónk. De az én tapasztalatom az, hogy a matematikusok jellemzően kíváncsi emberek, és nem szkeptikusok. Így nem csodálkoznék, ha ez a viszonylag tág és vélhetően szűz terület sokakat vonz majd, és hamarosan ömlenek az érdekesnél érdekesebb eredmények.

Sok szerencsét mindenkinek!

Pingala, I. e. 2. század

A számok

* * *

Attila József, pauvre magyar

* * *

A Fibonacci sorozatcsalád 1.

A Fibonacci sorozat régóta és széleskörben ismert. Okkal megragadja a figyelmet, hiszen roppant izgalmas tulajdonságokkal rendelkezik. Így nem meglepő, hogy különféle általánosításokat is inspirált. A kérdéskörnek imponáló irodalma van, bárki könnyen hiheti, hogy ezzel kapcsolatban újat már nem igen lehet.

Igen óvatlan lenne egy ilyen kijelentés. Tudhatnánk, hogy a matematika nem fogy, és bizonyosan soha nem is fog kifogyni a kisebb-nagyobb meglepetésekből.

Jó ideje foglalkoztatnak a számsorozatok egyes kérdései, és eközben ráakadtam egy nem is olyan kis meglepetésre.

Legelőször a Fibonacci sorozat egy speciális változatát vizsgálva, egy drámai változás döbbentett meg. Nos, itt lenne az ideje, hogy a rend kedvéért elevenítsük meg a Fibonacci sorozat meghatározását, és rögzítsünk bizonyos jelöléseket.

Fibonacci sorozat azt az F(n)-nel jelölt, a természetes számokon értelmezett számsorozatot nevezzük, amelyre igaz: F(1)=1, F(2)=1 és (ha n>2) F(n)=F(n-2)+F(n-1). A meghatározás lényege az, hogy a sorozat első két tagja külön és előre meg van adva, onnantól kezdve minden következő tag az előző kettő összege. Mivel számok összeadásáról van szó (nem például osztásról), semmilyen „nehézségre” nem számíthatunk a sorozat kiszámításánál.

Nyomban látható, hogy az első két tag megadása igen „önkényes”, és ebből származik a sorozat általánosításának döntő része. Vagyis Fibonacci sorozatnak tekint minden sorozatot, amelynek első tagja a, második tagja b (a többi tagra vonatkozóan pedig érvényben marad az eredeti szabály). Ez azt jelenteni, hogy bármely (a,b) számpárhoz hozzárendelhetünk egy külön sorozatot, amelyet kézenfekvő módon F_a,b(n)-nel jelölhetünk.

Igen könnyen belátható néhány feltűnő lehetőség, mint például az, hogy ha egy adott sorozatból kiválasztunk két egymást követő tagot, és azokkal indítunk egy új sorozat, az valójában nem is lenne egészen új, ellenkezőleg az új sorozat teljesen azonos az eredetivel a két kiválasztott számtól kezdődően.

Többek között ez a tulajdonság is tette indokolttá egy sorozat esetleges előzményeinek vizsgálatát, vagyis a sorozat kiszámítását „visszafelé”. Ez nyomban egy sor új izgalmas tulajdonságok és összefüggések felfedezéséhez vezetett, de egyben megint egy általánosításnak bizonyult. Itt ugyanis a szabály ekképpen változott meg: F^*(n)=F^*(n-2)-F^*(n-1).

Mivel a kivonás ugyanolyan problémamentes művelet, mint az összeadás, nyomban kapunk egy mindkét irányban végtelen (vagyis az összes egész számon értelmezett) sorozatot, amely az egyik irányban eredeti Fibonacci sorozat, a másik irányban ilyen kivonásos (retró) sorozat.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy ilyen „keveredés” már az által is adódik, ha a sorozat két első tagjának (vagy legalább az egyiknek negatív számot választunk (aminek az általánosítások lendületében semmi nem állít akadályt).

Akár melyik irányból nézzük most már ezeket a sorozatokat, igen érdekes szabályokat figyelhetünk meg a sorozat előjeleinél: minden sorozatnál van egy sajátos „töréspont, és onnantól kezdve a sorozat az egyik irányban szigorúan növekvő vagy szigorúan csökkenő, a másik irányban viszont az előjelek szabályosan váltakoznak.

Éppen ez az előjel-váltokozás vitt arra, hogy magában az alapképletbe „csempésszek be egy előjel-váltokozást, így ezt a képletet írtam fel:

F^S(n)=((-1)^(F^S(n-2)+F^S(n-1)))* F^S(n-2)+F^S(n-1)

Nos, ez a sorozat a legnagyobb megdöbbenésemre periodikusnak bizonyult, de nem csak, ha az eredeti 1,1 kezdő tagokkal, hanem minden további kísérletemnél más kezdő számokkal. Ez pedig egy szokványos matematikai képlet esetén (amely csak az alapműveleteket, az összeadás és kivonást, a szorzást és osztást, a hatványozást és a gyökvonás használja) enyhén szólva meglepőnek tűnt.

Íme, néhány példa:

Érdekes az utolsó oszlop, ahol látszik, hogy a számsor nyomban negatívba vált, és így, „víz alatt” úszik át a túlpartra, az új ciklusba.

Igen ám, de néhány új kísérlet a felszínre hozta ennek az új tulajdonságnak a labilitását, vagyis inkább Achilles-sarkát. Az történik ugyanis, hogy ha mind a két kezdő tag – és csak akkor – páros, a sorozat elveszti priodikus jellegét, visszavált „rendes” Fibonacci-sorozatra. Annyi viszont megjegyzendő, hogy igen könnyedén veszi a szorzást bármilyen számmal, hiszen ac+bc=(a+b)c. Ebből kifolyólag minden olyan Fibonacci-sorozat egy „alap”-sorozatnak tekeinthető, amelyet a és b legnagyobb közös osztójával szoroztunk. Ha tehát az „alap” vagyis „komoly” sorozatoknál a két kezdő tag nem is lehet egyszerre páros (hisze akkor a 2 még része a legnagyobb közös osztónak). Tehát valójában ilyen szerencsétlen klón lenne képes kiesni a periodikus jellegből. Minden esetre jó tudni erről az Achillesi sarokról. Egyébként nem nehéz megérteni, miért következik ez a „visszaesés” a klasszikus formában: egyszerűen arról van, hogy két páros kezdő tag esetén a sorozat minden két szomszédos tagjának összege is páros, ez pedig generálisan blokkolja (egyessé változtatja) (-1) alapú előtagot a sorozat képzési szabályában.

De akár mi is legyen ezzel a fura kivétellel, az alapeset meglepő és érdekes. Egy sor dolog könnyen és gyorsan megállapítható, ugyanakkor vélhetően még további izgalmas kérdések is felmerülnek majd.

Az egyik legfontosabb megállapítás az, hogy a periodus hossza állandó, éspedig 6 tagból áll. Ez nem függ a kezdő tagok előjelétől, a tagok nagyságától, attól sem, hogy b nagyobb-e vagy kisebb-e, vagy esetleg egyenló a-val.

Az is állandó tulajdonság, hogy a ciklus legalább kétszer vált előjelet, vagyis legalább egy tag más előjellel van, mint a többi. Viszont, ahogy a fenti példák is mutatják, az előjelváltás akár négy tagot is áthidalhat.

Leonardo Pisano (Fibonacci), 1175-1250

A számok

* * *