A fenti felfedezés után indokoltnak
láttam az út folytatását. Két irányt láttam, és világos volt, hogy mind a
kettőt ki kell próbálni.
Az egyik gondolat az
volt, hogy váltsunk az előjeles tényező kitevőjének páros-páratlan jellegén,
vagyis az ne F(n-2)+F(n-1) legyen, hanem F(n-2)+F(n-1)+1. Világos, hogy ez
mindig az ellenkezőjére váltja az első tag előjelét, hiszen ha F(n-2)+F(n-1)
páros, akkor F(n-2)+F(n-1)+1 páratlan és fordítva.
A másik irány az volt,
hogy ilyen előjelváltó tényezőt a második tag elé is tegyünk.
Ez azt jelenti, hogy ha
mind a két szempontból variálunk, 9 esetet kapunk, hiszen két különböző helyre
három lehetőség közül egyet tehetünk.
Ez a három lehetőség és
jelölésük:
X – semmi
0 – F(n-2)+F(n-1)
1 – F(n-2)+F(n-1)+1
E jelölések
felhasználásával az első felfedezett sorozatot F0X-szel kellene jelölni. Tehát
például az F11 képzési szabálya
F11(n)=((-1)^(F11(n-2)+F11(n-1)+1))*
F11(n-2)+ ((-1)^(F11(n-2)+F11(n-1)+1))*F11(n-1)
Nyilvánvalóan ezekkel a jelölésekkel
FXX nem más, mint az eredeti klasszikus sorozat.
De ami a lényeg: mind a 8
új alternatív sorozat periodikus, egy fölöttébb érdekes kivétellel. Az „utolsó”,
éspedig a fent részletesen kiírt F11 sorozat pontosan fordítva viselkedik, mint
a többiek, vagyis nála az Achilles-sarok az, hogy periodikus, egyéb esetben „majdnem”
úgy viselkedik, mint egy „rendes” Fibonacci sorozat – de nem egészen, ugyanis
megint csak periodikusan „kilő” egy-egy tagot, így a sorozat nem mondható
monotonnak sem. Hasonló „anomális” figyelhető meg az F01-nél, ami kissé meglepő.
Lássuk most együtt a
kilenc családtagot.
A felfedezés még egészen friss.
Tekintettel arra, hogy maguk az új alternatív sorozatok alapvetően
periodikusok, fix rövid periodussal, a szkeptikus hozzáállás azt sugallhatja,
hogy itt nem lesz sok keresnivalónk. De az én tapasztalatom az, hogy a
matematikusok jellemzően kíváncsi emberek, és nem szkeptikusok. Így nem
csodálkoznék, ha ez a viszonylag tág és vélhetően szűz terület sokakat vonz
majd, és hamarosan ömlenek az érdekesnél érdekesebb eredmények.
Sok szerencsét
mindenkinek!
