A Fibonacci sorozatcsalád 1.

A Fibonacci sorozat régóta és széleskörben ismert. Okkal megragadja a figyelmet, hiszen roppant izgalmas tulajdonságokkal rendelkezik. Így nem meglepő, hogy különféle általánosításokat is inspirált. A kérdéskörnek imponáló irodalma van, bárki könnyen hiheti, hogy ezzel kapcsolatban újat már nem igen lehet.

Igen óvatlan lenne egy ilyen kijelentés. Tudhatnánk, hogy a matematika nem fogy, és bizonyosan soha nem is fog kifogyni a kisebb-nagyobb meglepetésekből.

Jó ideje foglalkoztatnak a számsorozatok egyes kérdései, és eközben ráakadtam egy nem is olyan kis meglepetésre.

Legelőször a Fibonacci sorozat egy speciális változatát vizsgálva, egy drámai változás döbbentett meg. Nos, itt lenne az ideje, hogy a rend kedvéért elevenítsük meg a Fibonacci sorozat meghatározását, és rögzítsünk bizonyos jelöléseket.

Fibonacci sorozat azt az F(n)-nel jelölt, a természetes számokon értelmezett számsorozatot nevezzük, amelyre igaz: F(1)=1, F(2)=1 és (ha n>2) F(n)=F(n-2)+F(n-1). A meghatározás lényege az, hogy a sorozat első két tagja külön és előre meg van adva, onnantól kezdve minden következő tag az előző kettő összege. Mivel számok összeadásáról van szó (nem például osztásról), semmilyen „nehézségre” nem számíthatunk a sorozat kiszámításánál.

Nyomban látható, hogy az első két tag megadása igen „önkényes”, és ebből származik a sorozat általánosításának döntő része. Vagyis Fibonacci sorozatnak tekint minden sorozatot, amelynek első tagja a, második tagja b (a többi tagra vonatkozóan pedig érvényben marad az eredeti szabály). Ez azt jelenteni, hogy bármely (a,b) számpárhoz hozzárendelhetünk egy külön sorozatot, amelyet kézenfekvő módon F_a,b(n)-nel jelölhetünk.

Igen könnyen belátható néhány feltűnő lehetőség, mint például az, hogy ha egy adott sorozatból kiválasztunk két egymást követő tagot, és azokkal indítunk egy új sorozat, az valójában nem is lenne egészen új, ellenkezőleg az új sorozat teljesen azonos az eredetivel a két kiválasztott számtól kezdődően.

Többek között ez a tulajdonság is tette indokolttá egy sorozat esetleges előzményeinek vizsgálatát, vagyis a sorozat kiszámítását „visszafelé”. Ez nyomban egy sor új izgalmas tulajdonságok és összefüggések felfedezéséhez vezetett, de egyben megint egy általánosításnak bizonyult. Itt ugyanis a szabály ekképpen változott meg: F^*(n)=F^*(n-2)-F^*(n-1).

Mivel a kivonás ugyanolyan problémamentes művelet, mint az összeadás, nyomban kapunk egy mindkét irányban végtelen (vagyis az összes egész számon értelmezett) sorozatot, amely az egyik irányban eredeti Fibonacci sorozat, a másik irányban ilyen kivonásos (retró) sorozat.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy ilyen „keveredés” már az által is adódik, ha a sorozat két első tagjának (vagy legalább az egyiknek negatív számot választunk (aminek az általánosítások lendületében semmi nem állít akadályt).

Akár melyik irányból nézzük most már ezeket a sorozatokat, igen érdekes szabályokat figyelhetünk meg a sorozat előjeleinél: minden sorozatnál van egy sajátos „töréspont, és onnantól kezdve a sorozat az egyik irányban szigorúan növekvő vagy szigorúan csökkenő, a másik irányban viszont az előjelek szabályosan váltakoznak.

Éppen ez az előjel-váltokozás vitt arra, hogy magában az alapképletbe „csempésszek be egy előjel-váltokozást, így ezt a képletet írtam fel:

F^S(n)=((-1)^(F^S(n-2)+F^S(n-1)))* F^S(n-2)+F^S(n-1)

Nos, ez a sorozat a legnagyobb megdöbbenésemre periodikusnak bizonyult, de nem csak, ha az eredeti 1,1 kezdő tagokkal, hanem minden további kísérletemnél más kezdő számokkal. Ez pedig egy szokványos matematikai képlet esetén (amely csak az alapműveleteket, az összeadás és kivonást, a szorzást és osztást, a hatványozást és a gyökvonás használja) enyhén szólva meglepőnek tűnt.

Íme, néhány példa:

Érdekes az utolsó oszlop, ahol látszik, hogy a számsor nyomban negatívba vált, és így, „víz alatt” úszik át a túlpartra, az új ciklusba.

Igen ám, de néhány új kísérlet a felszínre hozta ennek az új tulajdonságnak a labilitását, vagyis inkább Achilles-sarkát. Az történik ugyanis, hogy ha mind a két kezdő tag – és csak akkor – páros, a sorozat elveszti priodikus jellegét, visszavált „rendes” Fibonacci-sorozatra. Annyi viszont megjegyzendő, hogy igen könnyedén veszi a szorzást bármilyen számmal, hiszen ac+bc=(a+b)c. Ebből kifolyólag minden olyan Fibonacci-sorozat egy „alap”-sorozatnak tekeinthető, amelyet a és b legnagyobb közös osztójával szoroztunk. Ha tehát az „alap” vagyis „komoly” sorozatoknál a két kezdő tag nem is lehet egyszerre páros (hisze akkor a 2 még része a legnagyobb közös osztónak). Tehát valójában ilyen szerencsétlen klón lenne képes kiesni a periodikus jellegből. Minden esetre jó tudni erről az Achillesi sarokról. Egyébként nem nehéz megérteni, miért következik ez a „visszaesés” a klasszikus formában: egyszerűen arról van, hogy két páros kezdő tag esetén a sorozat minden két szomszédos tagjának összege is páros, ez pedig generálisan blokkolja (egyessé változtatja) (-1) alapú előtagot a sorozat képzési szabályában.

De akár mi is legyen ezzel a fura kivétellel, az alapeset meglepő és érdekes. Egy sor dolog könnyen és gyorsan megállapítható, ugyanakkor vélhetően még további izgalmas kérdések is felmerülnek majd.

Az egyik legfontosabb megállapítás az, hogy a periodus hossza állandó, éspedig 6 tagból áll. Ez nem függ a kezdő tagok előjelétől, a tagok nagyságától, attól sem, hogy b nagyobb-e vagy kisebb-e, vagy esetleg egyenló a-val.

Az is állandó tulajdonság, hogy a ciklus legalább kétszer vált előjelet, vagyis legalább egy tag más előjellel van, mint a többi. Viszont, ahogy a fenti példák is mutatják, az előjelváltás akár négy tagot is áthidalhat.

Leonardo Pisano (Fibonacci), 1175-1250

A számok

* * *