Tiszteletet az axiómáknak

Kedves barátom!

Írod, hogy „véletlenül” belenéztem Obádovics Matematika című könyvébe, és Eukleidész axiómáit, posztulátumait olvasgatva, elgondolkodtál azon, miért nem értem mindegyiket?

Ahogy írod, a szerző összesen öt ilyen posztulátumot sorol fel, te hármat idézel:

III. Minden középpont körül tetszőleges sugárral kört rajzolhatunk.

IV. A derékszögek egymással mind egyenlők.

V.  Ha két egyenest egy harmadik metsz, akkor azok, végtelenül meghosszabbítva őket,  a metszőnek azon az oldalán találkoznak, amelyen a belső szögek összege kisebb két derékszögnél.

A III. és IV. posztulátum szerinted evidens, de kérded, mint ahogy minden szög egyenlő másik ugyanakkora szöggel, miért pont a derékszög van kiemelve? Az V. posztulátumot viszont végképp zavarosnak találod.

Nos, nem keveset kérdezel, és mivel a matematikában még inkább igaz, hogy minden mindennel függ össze, egy rövid válaszban kimerítő választ adni. Mégis érdemes, fontos ezekről szót ejteni.

Szerintem a világszellem nem odaát, hanem itt van, és ha egyszerűen akar szólni, akar matematikaiul beszél.

Meggyőződésem szerint, ha van egy képzetünk – és ilyenek mindig bőven voltak, ma még több és fajsúlyosabb, lásd az idő és a tér „kezdete” a Nagy Bummban, demokrácia stb.) – és nem tudunk ennek a képzetnek egy korrekt matematikai modellt feleltetni, akkor ez a képzet hibádzik.

Közben az emberek döbbenetesen nagy része fél, szinte reszket, menekül a matematika elől. Talán ezen nem is kellene annyira csodálkozni. Hát nem féltünk-e évezredeken át a folyó szellemétől ás egyéb gonosz erőktől?

Igaz, néha egy matematikai feladat is tud az őrületbe kergetni, vagy még inkább egy rosszul sikerült matematikai tanár. De maga a matematika káprázatos. És békés. És izgalmas. Sokszor egy jó kriminél is izgalmasabb.

Bár itt nem azt kell kideríteni, hogy ki a gyilkos, hanem, ki miben tévedett?

A tévedések pedig sokfélék lehetnek: egészen triviális hibáktól a koncepcionális vitákig.

Például én komoly koncepcionális vitába keveredtem Eukleidésszel, erről ittlehet olvasni.

És most a kérdéseidre visszatérve: a matematika elméletek sokasága. Minden egyes elmélet axiómákkal kezdődik, és utána abból áll, hogy ezekből az axiómákból a logika és csak a logika eszközeivel minél több tételt levezetni. A tétel az adott elmélet „igazsága”, de ugyanaz egy másik elméletben lehet hamis. Az elméletek közötti vitákat pedig nem kell „elrendezni”. Az az elmélet, amelyben 2+2=4, ugyanannyit ér, mint az a másik, ahol 2+2=5.

Szép kis világ, mi? Ennek mi értelme van, olyan elméletet felépíteni (lehet), amelyben 2+2=5?

Ez, bizony, sokszor roppant hasznos lehet. A világban a mélyebb igazságokat sokszor éppen azáltal érjük el, hogy új, szokatlan szemszögből nézzük meg ugyanazt, amit évszázadokig valami megszokott képpen néztünk.

Ebből adódik, hogy az axiómákkal kapcsolatban fölöslegesek az aggályok. Nem tetszik egy axióma? Neked nem eléggé evidens? Vagy túl evidens? Kérem, tessék összeállítani egy másik elméletet. Ezért senki nem fog megszidni, ellenkezőleg.

No, persze, a valóságban egy új elmélet felépítése nem olyan egyszerű. Munkás feladat. A mai klasszikus geometria, becslésem szerint 25 844 tételt (levezetést) tartalmaz, ami 14 551 matematikus munkája, röpke 2300 év alatt. Ezt jövő héten megismételni más axiómákból kiindulva, nagy bravúr lenne.

Igaz, pár éven belül a Nagy Agy szuperszámítógépek (művésznéven: Mesterséges Intelligencia) ontani fogja az elméleteket.

Egy kicsit más, de nem kevésbé kérdés, amely már nem is tisztán matematikai (valamennyire az), nem tisztán logikai sem (valamennyire az is), hanem vastagon pszichológiai: mit fogadunk – alapvetően hallgatólagosan – „abszolút” evidenciának, és mit nem. Mi szükség van azt kimondani, hogy bármely pontban bármekkora sugarú kört rajzolhatunk? És vonalat húzni? Bárhol? Lehet-e bármelyik pontban pontot rajzolni? Miből lehet ezt levezetni?

Egy szó, mint száz, egy axiómarendszer értékeléséhez… tapintat, és hatalmas helyismeret kell.

Nem miden lett világos? Hát előreszólta, kedves barátom! De folytathatjuk, időnk van.

* * *

Pont másképpen

Egész kultúránk, egész elméleti és gyakorlati gondolkodásunk, így minden képzetünk és minden tudásunk egy valóságos csoda jegyét viseli, immár két és fél évezrede: az euklideszi geometria jegyét.

Eukleidész geometriája, pontosabban annak megalkotása szűken vett szakmai, vagyis matematikai értelemben is csoda. Ezt egy rendhagyó könyv testesítette meg, amely szerencsés módon meg is maradt az utókor számára. Címe: Elemek. Elsősorban a geometriát ismerteti, de röviden szó esik benne a számokról is. Ami imponáló a műben, az, hogy az emberiség egész addigi geometriai tudását szedte össze, és itt-ott saját új „elemekkel”, jelesül bizonyításokkal egészítette ki. De ami forradalmi benne: itt teljesen tudatosan és kiérlelten jelenik meg a bizonyítási kényszer, a bizonyítási kultúra végső formája, egy matematikai tan axiomatikus elve.

Ebben a könyvben tehát a geometria úgy pattant a világra, mint Pallasz Athéné Zeusz fejéből, teljes díszben-vértezetben. Azóta sok ezer tudós gyarapítja az ismert geometriai tételek tárát, de érdemben semmilyen korrekció nem homályosítja az euklideszi csoda ragyogását. Ahogy látni fogjuk, a lényegen azt sem változtat, hogy a 19. században egymás után kezdtek feltűnni különféle „nem-euklideszi” geometriák.

A csoda ellen voltaképpen egy – éspedig nem eredménytelen – merényletet René Descartes követett el a 17. században, amikor a számkoordináta-rendszer vastüdőjébe zárta az emberi elme eme legnagyobb absztrakcióját. A 20. században Albert Einstein a térgörbülettel valamit visszaadott az űr szabadságából.

Mindennel együtt – valójában észrevétlen – tény, hogy 2300 éve az ember csak úgy tud gondolkodni, tehát cselekedni, élni is, hogy látja a teret, amelyben vagyunk, látja a pontokat benne: álláspont, szilárd pont, elrugaszkodás pont, támpont, célpont, középpont, végpont stb.

Pont? Egyenes? Sík?

Csakhogy éppen ez, ami az euklideszi csoda észre nem vett titka. Eukleidész csodálatos művével csodálatosan szolgálta az ókori görög világ másik, filozófiai csodáját: a materializmus csodáját. Egy sor neves gondolkodó, jelesül Démokritosz vallotta és tanította az atomok létezését, azokét a tovább nem törhető „pontok”-ét, amelyeket viszontlátunk Eukleidésznél.

Én azt mondom, egy új materializmus kutatójaként: Minden, ami létezik, tovább törhető! Minden, ami létezik, olyan összetett, mint maga a világ!

Tehát lenne, lehetne geometria pontok nélkül?

Már hogy ne lehetne, a matematikában? Aki ilyet feltételez, az keveset tud a tudományok királynőjéről (ahogy Gauss becézte azt). Más kérdés, hogy mekkora érdeklődésre tarthatna igényt egy ilyen elmélet.

Annál izgalmasabb az a kérdés, mit lehet remélni egy valóban „szigorúan nem-euklideszi” geometriától, amelyben a pont, egyenes és sík egészen más tulajdonságokkal rendelkezne, mint az euklidesziben. Szerencsére a matematikai elméletek többé-kevésbé jól modellezhetők más (ismertebb vagy kényelmesebb) elméletekben. A most felvázolt „szigorúan nem-euklideszi” geometria „pontjait” egy kör belsejének felelnének meg az euklideszi geometriában. Így könnyű elfogadni a következő tétel helyességét a „szigorúan nem-euklideszi” geometriában:  „Ha A egy pont, akkor mindig található két B és C pont és egy a egyenes, úgy hogy A tartalmazza B-t és C-t, és közben B és C az a két különböző oldalán fekszik.”

Bizonyáról „szigorúan nem-euklideszi” geometriából több lehet, mint „egyszerű” nem-euklidesziből (ha egyáltalán értelme lenne ilyen összehasonlításnak), de hogy mit lehet kihozni az előbbiekből, az ma még nehéz megjósolni.

Az viszont biztos, hogy az új gondolkodási kultúránkban másképpen kell látnunk a pontot. Igen, meg kell tanulnunk: Minden, ami létezik, olyan összetett, mint maga a világ!

* * *