77 dicsérete

 

De miért is kell dicsérni a 77-et?

Mert itt az ideje.

Akkor jó, halljuk a dicséretet!

Legelőször emlékeztetnék fontos tételemre, miszerint a mai embernek 111 év élet adatik, egészségben, munkában, örömben. Ez a tisztes kor három egyforma részre osztható fiatalság, felnőttkor és a bölcsesség kora. E szerint a 77. életévünk a bölcsesség harmadik éve.

Igaz, mindez inkább az életről szól, és nem annyira magáról erről a varázsszámról.

Először is, ami gyorsan és egyszerűen szembeszőkik: 77 a 7 és a 11 szorzata, ezek pedig nem akármilyen prímszámok! Az első a legnagyobb egyszámjegyű, a második a legkisebb kétszámjegyű prím.

Másodszor, a 77 három egymást követő kulcsszám négyzeteinek összege:

77 = 4² + 5² + 6²

Harmadsorban a 77 az első nyolc prímszám össszege:

77 = 2+3+5+7++11+13+17+19

Végül létezik – éspedig csak egy – püthagoraszi számhármas, amely tartalmazza a 77-et. Ez pedig az elbűvölő 36,77,85. (Emlékeztetőül: püthagoraszi számhármas három olyan természetes szám, amely egy derékszögű táromszög oldalait jelentik.)

Kell még? Ha igen, találd ki, és örvendeztess vele minket.

 

* * *

 

A Fibonacci sorozatcsalád 3.

A Fibonacci sorozat új típuscsaládja annyira érdekesnek tűnt, hogy nem tudtam ellenállni a csábításnak és több időt kényszerültem áldozni erre, mint amennyi tartalékom volt. Ami nem tartható fen sokáig, ha nem akarom veszélyeztetni aktuális feladataim. De az ember tartozik új eredményeinek, a rutin feladatok nem élvezhetnek feltétel nélküli elsőbbséget. Természetesen, ha az eredmények valóban újak. Ma viszont ki lehet biztos abban, mi az, ami már nem új?

Így tanácsosnak gondoltam konzultálni egy jó szakemberrel. Vélhetően ma Magyarországon kevés ember tud többet a Fibonacci számokról, mint Gerőcs László, aki egy kitűnő könyvet írt a témáról, éspedig éppen a Fibonacci sorozatok általánosításaira fókuszálva (ez kötetének címe is). Miután megmutattam neki az előző két részét ennek a cikknek, Gerőcs László nem tudta lehűteni lelkesedésemet azzal, hogy ez a fajta általánosítás ismert. Ellenkezőleg, elsőre adott véleménye, de még a felvetett kérdései is komoly biztatást adtak.

Konkrétan is felvetette a kérdést, amely az említett műve nyomán érthető is: vajon lenne-e hasonló hatás a Fibonacci sorozat olyan általánosításánál, amikor nem a harmadik tag az előző kettő, hanem a negyedik, vagy éppen a k-ik tag az előző három, illetve az előző k-1 tag összege.

A kérdés valóban jogos, mondhatni kézenfekvő. De ennek a a biztatásnak nem csak szakmai értéke volt számomra, hanem igen hatásosnak is bizonyult. Késedelem nélkül kezdtem vizsgálni ezt a fajta általánosítást. Legelőször azt kellett felmérni, hogy a feladat mennyiségi szempontból nem kicsi. Ha csak az első kategóriát vizsgáljuk, amikor három előző tagot adunk össze, 27 esettel állunk szemben, a 2. részben bemutatott meggondolás alapján.

Közben arra gondoltam, hogy a rengeteg fajta sorozat és azok általánosításai miatt, érdemes megfelelő jelölési rendszert rögzíteni. Eszerint a klasszikus, két előző tag összegével képződő sorozatokat Fi-vel jelölnénk, az általánosított, három előző tag összeadásával képződő sorozatot pedig Fib-bel (ahány az összeadandó, annyi a betű, így talán könnyen megjegyezhető).

Most nem untatnám az olvasót az összes 27 variáns felsorolásával, ízelítőként hármat említek: Fib0X1, Fib110, FibXX1.

A konkrét vizsgálatot a legegyszerűbb alcsoportban kezdtem, az, ami a témában tett legelső kísérlethez kapcsolódik: Fib0XX, FibX0X és FibXX0. És természetesen fel kellett ríni ezek mellé a „sztenderd” Fib-et, vagyis a FibXXX-et.

Sejthető, hogy itt vizsgálat alatt azt kell érteni, hogy számtalan kezdő értékekkel kellett sorozatokat generálni és szemügyre venni. Mi tagadás, az Excel birtokában ez „gyermekjáték” (milyen kár, hogy gyermekeink nem ilyen játékokat, hanem élethű háborúkat „játszanak” számítógépeiken).

Az első „alternatív” eset (Fib0XX) voltaképpen csalódás volt. A törzssorozat növekedési ütemét jelentősen csökkentette, de jellegében igen hasonlított hozzá. Ciklus nyomára sehogy sem akadtam (még).

Jóval izgalmasabbnak bizonyult a második eset (FibX0X). Ez többféleképpen tud viselkedni, de ami „tipikus”: egy oszcilláló sorozat jelentkezik, amelynek a minimumai (hullámvölgyei) azonos értékűek.

De a „csoda” nem maradt el: a harmadik eset (FibXX0) végre produkálta a ciklust. Amely most 8 tagú.

Közben tapasztaltam, hogy már ez az első három legegyszerűbb alternatíva egy sor különlegességet produkál. Sokaknak hosszú ideig kellene ezzel a 27 alternatívával játszaniuk, hogy kiismerjük ezeknek virágos lelkét.

Itt most csak egy összefoglaló példát tudok megosztani, és sok szerencsét kívánni azoknak, akik belevágnak egy felfedező kalandba a Fib erdőbe!

A számok

* * *

A Fibonacci sorozatcsalád 1.

A Fibonacci sorozat régóta és széleskörben ismert. Okkal megragadja a figyelmet, hiszen roppant izgalmas tulajdonságokkal rendelkezik. Így nem meglepő, hogy különféle általánosításokat is inspirált. A kérdéskörnek imponáló irodalma van, bárki könnyen hiheti, hogy ezzel kapcsolatban újat már nem igen lehet.

Igen óvatlan lenne egy ilyen kijelentés. Tudhatnánk, hogy a matematika nem fogy, és bizonyosan soha nem is fog kifogyni a kisebb-nagyobb meglepetésekből.

Jó ideje foglalkoztatnak a számsorozatok egyes kérdései, és eközben ráakadtam egy nem is olyan kis meglepetésre.

Legelőször a Fibonacci sorozat egy speciális változatát vizsgálva, egy drámai változás döbbentett meg. Nos, itt lenne az ideje, hogy a rend kedvéért elevenítsük meg a Fibonacci sorozat meghatározását, és rögzítsünk bizonyos jelöléseket.

Fibonacci sorozat azt az F(n)-nel jelölt, a természetes számokon értelmezett számsorozatot nevezzük, amelyre igaz: F(1)=1, F(2)=1 és (ha n>2) F(n)=F(n-2)+F(n-1). A meghatározás lényege az, hogy a sorozat első két tagja külön és előre meg van adva, onnantól kezdve minden következő tag az előző kettő összege. Mivel számok összeadásáról van szó (nem például osztásról), semmilyen „nehézségre” nem számíthatunk a sorozat kiszámításánál.

Nyomban látható, hogy az első két tag megadása igen „önkényes”, és ebből származik a sorozat általánosításának döntő része. Vagyis Fibonacci sorozatnak tekint minden sorozatot, amelynek első tagja a, második tagja b (a többi tagra vonatkozóan pedig érvényben marad az eredeti szabály). Ez azt jelenteni, hogy bármely (a,b) számpárhoz hozzárendelhetünk egy külön sorozatot, amelyet kézenfekvő módon F_a,b(n)-nel jelölhetünk.

Igen könnyen belátható néhány feltűnő lehetőség, mint például az, hogy ha egy adott sorozatból kiválasztunk két egymást követő tagot, és azokkal indítunk egy új sorozat, az valójában nem is lenne egészen új, ellenkezőleg az új sorozat teljesen azonos az eredetivel a két kiválasztott számtól kezdődően.

Többek között ez a tulajdonság is tette indokolttá egy sorozat esetleges előzményeinek vizsgálatát, vagyis a sorozat kiszámítását „visszafelé”. Ez nyomban egy sor új izgalmas tulajdonságok és összefüggések felfedezéséhez vezetett, de egyben megint egy általánosításnak bizonyult. Itt ugyanis a szabály ekképpen változott meg: F^*(n)=F^*(n-2)-F^*(n-1).

Mivel a kivonás ugyanolyan problémamentes művelet, mint az összeadás, nyomban kapunk egy mindkét irányban végtelen (vagyis az összes egész számon értelmezett) sorozatot, amely az egyik irányban eredeti Fibonacci sorozat, a másik irányban ilyen kivonásos (retró) sorozat.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy ilyen „keveredés” már az által is adódik, ha a sorozat két első tagjának (vagy legalább az egyiknek negatív számot választunk (aminek az általánosítások lendületében semmi nem állít akadályt).

Akár melyik irányból nézzük most már ezeket a sorozatokat, igen érdekes szabályokat figyelhetünk meg a sorozat előjeleinél: minden sorozatnál van egy sajátos „töréspont, és onnantól kezdve a sorozat az egyik irányban szigorúan növekvő vagy szigorúan csökkenő, a másik irányban viszont az előjelek szabályosan váltakoznak.

Éppen ez az előjel-váltokozás vitt arra, hogy magában az alapképletbe „csempésszek be egy előjel-váltokozást, így ezt a képletet írtam fel:

F^S(n)=((-1)^(F^S(n-2)+F^S(n-1)))* F^S(n-2)+F^S(n-1)

Nos, ez a sorozat a legnagyobb megdöbbenésemre periodikusnak bizonyult, de nem csak, ha az eredeti 1,1 kezdő tagokkal, hanem minden további kísérletemnél más kezdő számokkal. Ez pedig egy szokványos matematikai képlet esetén (amely csak az alapműveleteket, az összeadás és kivonást, a szorzást és osztást, a hatványozást és a gyökvonás használja) enyhén szólva meglepőnek tűnt.

Íme, néhány példa:

Érdekes az utolsó oszlop, ahol látszik, hogy a számsor nyomban negatívba vált, és így, „víz alatt” úszik át a túlpartra, az új ciklusba.

Igen ám, de néhány új kísérlet a felszínre hozta ennek az új tulajdonságnak a labilitását, vagyis inkább Achilles-sarkát. Az történik ugyanis, hogy ha mind a két kezdő tag – és csak akkor – páros, a sorozat elveszti priodikus jellegét, visszavált „rendes” Fibonacci-sorozatra. Annyi viszont megjegyzendő, hogy igen könnyedén veszi a szorzást bármilyen számmal, hiszen ac+bc=(a+b)c. Ebből kifolyólag minden olyan Fibonacci-sorozat egy „alap”-sorozatnak tekeinthető, amelyet a és b legnagyobb közös osztójával szoroztunk. Ha tehát az „alap” vagyis „komoly” sorozatoknál a két kezdő tag nem is lehet egyszerre páros (hisze akkor a 2 még része a legnagyobb közös osztónak). Tehát valójában ilyen szerencsétlen klón lenne képes kiesni a periodikus jellegből. Minden esetre jó tudni erről az Achillesi sarokról. Egyébként nem nehéz megérteni, miért következik ez a „visszaesés” a klasszikus formában: egyszerűen arról van, hogy két páros kezdő tag esetén a sorozat minden két szomszédos tagjának összege is páros, ez pedig generálisan blokkolja (egyessé változtatja) (-1) alapú előtagot a sorozat képzési szabályában.

De akár mi is legyen ezzel a fura kivétellel, az alapeset meglepő és érdekes. Egy sor dolog könnyen és gyorsan megállapítható, ugyanakkor vélhetően még további izgalmas kérdések is felmerülnek majd.

Az egyik legfontosabb megállapítás az, hogy a periodus hossza állandó, éspedig 6 tagból áll. Ez nem függ a kezdő tagok előjelétől, a tagok nagyságától, attól sem, hogy b nagyobb-e vagy kisebb-e, vagy esetleg egyenló a-val.

Az is állandó tulajdonság, hogy a ciklus legalább kétszer vált előjelet, vagyis legalább egy tag más előjellel van, mint a többi. Viszont, ahogy a fenti példák is mutatják, az előjelváltás akár négy tagot is áthidalhat.

Leonardo Pisano (Fibonacci), 1175-1250

A számok

* * *