Egész
kultúránk, egész elméleti és gyakorlati gondolkodásunk, így minden képzetünk és
minden tudásunk egy valóságos csoda jegyét viseli, immár két és fél évezrede:
az euklideszi geometria jegyét.
Eukleidész geometriája, pontosabban annak megalkotása szűken vett szakmai,
vagyis matematikai értelemben is csoda. Ezt egy rendhagyó könyv testesítette
meg, amely szerencsés módon meg is maradt az utókor számára. Címe: Elemek. Elsősorban
a geometriát ismerteti, de röviden szó esik benne a számokról is. Ami imponáló
a műben, az, hogy az emberiség egész addigi geometriai tudását szedte össze, és
itt-ott saját új „elemekkel”, jelesül bizonyításokkal egészítette ki. De ami forradalmi
benne: itt teljesen tudatosan és kiérlelten jelenik meg a bizonyítási kényszer,
a bizonyítási kultúra végső formája, egy matematikai tan axiomatikus elve.
Ebben a könyvben tehát a geometria úgy pattant a világra, mint Pallasz
Athéné Zeusz fejéből, teljes díszben-vértezetben. Azóta sok ezer tudós
gyarapítja az ismert geometriai tételek tárát, de érdemben semmilyen korrekció
nem homályosítja az euklideszi csoda ragyogását. Ahogy látni fogjuk, a lényegen
azt sem változtat, hogy a 19. században egymás után kezdtek feltűnni különféle „nem-euklideszi”
geometriák.
A csoda ellen voltaképpen egy – éspedig nem eredménytelen – merényletet René
Descartes követett el a 17. században, amikor a számkoordináta-rendszer
vastüdőjébe zárta az emberi elme eme legnagyobb absztrakcióját. A 20. században
Albert Einstein a térgörbülettel valamit visszaadott az űr szabadságából.
Mindennel együtt – valójában észrevétlen – tény, hogy 2300 éve az ember
csak úgy tud gondolkodni, tehát cselekedni, élni is, hogy látja a teret,
amelyben vagyunk, látja a pontokat benne: álláspont, szilárd pont,
elrugaszkodás pont, támpont, célpont, középpont, végpont stb.
Pont? Egyenes? Sík?
Csakhogy éppen ez, ami az euklideszi csoda észre nem vett titka. Eukleidész
csodálatos művével csodálatosan szolgálta az ókori görög világ másik,
filozófiai csodáját: a materializmus csodáját. Egy sor neves gondolkodó,
jelesül Démokritosz vallotta és tanította az atomok létezését, azokét a tovább
nem törhető „pontok”-ét, amelyeket viszontlátunk Eukleidésznél.
Én azt mondom, egy új materializmus kutatójaként: Minden, ami létezik,
tovább törhető! Minden, ami létezik, olyan összetett, mint maga a világ!
Tehát lenne, lehetne geometria pontok nélkül?
Már hogy ne lehetne, a matematikában? Aki ilyet feltételez, az keveset tud
a tudományok királynőjéről (ahogy Gauss becézte azt). Más kérdés, hogy mekkora
érdeklődésre tarthatna igényt egy ilyen elmélet.
Annál izgalmasabb az a kérdés, mit lehet remélni egy valóban „szigorúan nem-euklideszi”
geometriától, amelyben a pont, egyenes és sík egészen más tulajdonságokkal
rendelkezne, mint az euklidesziben. Szerencsére a matematikai elméletek
többé-kevésbé jól modellezhetők más (ismertebb vagy kényelmesebb) elméletekben.
A most felvázolt „szigorúan nem-euklideszi” geometria „pontjait” egy kör
belsejének felelnének meg az euklideszi geometriában. Így könnyű elfogadni a
következő tétel helyességét a „szigorúan nem-euklideszi” geometriában: „Ha A egy pont, akkor mindig található két B
és C pont és egy a egyenes, úgy hogy A tartalmazza B-t és C-t, és közben B és C
az a két különböző oldalán fekszik.”
Bizonyáról „szigorúan nem-euklideszi” geometriából több lehet, mint „egyszerű”
nem-euklidesziből (ha egyáltalán értelme lenne ilyen összehasonlításnak), de
hogy mit lehet kihozni az előbbiekből, az ma még nehéz megjósolni.
Az viszont biztos, hogy az új gondolkodási kultúránkban másképpen kell
látnunk a pontot. Igen, meg kell tanulnunk: Minden, ami létezik, olyan
összetett, mint maga a világ!
*
* *
