2019. szeptember 29., vasárnap

A Simi-számrendszer


A ma világszerte gyakorlatilag egyedüliként használt számrendszert fölösleges bemutatni. Ma az is közismert, hogy a számítástechnika az azonos elvek szerint működő kettes számrendszert használja, illetve, hogy bármilyen más alapú rendszer is felállítható. Ha értékelni szeretnénk a különböző számrendszereket, ilyen – kissé szubjektív – követelményeket lehetne megfogalmazni:
– könnyen megérthető és megtanulható legyen,
– kényelmesen összeadhassunk,
– kényelmesen szorozhassunk,
– gyorsan megállapíthassuk a szám bizonyos tulajdonságait.
Kérdés, hogy ennek mennyi az értelme, hiszen nem ismerünk igazán új alternatív számrendszert. Csakhogy 2019-ben a helyzet megváltozott: megszületett a Simi számrendszer! (Ejtsd: szimi)
Szabálya a következő: felírjuk a szám kanonikus alakját (csökkenő sorrendben), de úgy, hogy abban az összes kisebb prímszám is szerepel (nullás hatvánnyal), utána sorra leegyezzük a hatványokat. Ez a sorozat a szám Simi-számrendszerben leírva. Pl. 20 = 51*30*22 . Maga a számelmélet Alaptétele garantálja, hogy minden természetes szám egyértelműen felírható ebben a formában.

Decimális
Simi
Decimális
Simi
1
0
11
10 000
2
1
12
12
3
10
13
100 000
4
2
14
1001
5
100
15
110
6
11
16
4
7
1000
17
1 000 000
8
3
18
21
9
20
19
10 000 000
10
101
20
102

Mi értelme, mi előnye lenne ennek a számrendszernek? Aki hajlamos szkeptikusan, gyanakvással fogadni az újdonságokat, most kényelmes helyzetben érezheti magát. Ugyanakkor nem lehet nem észrevenni a Simi-számrendszer néhány rendkívüli, igen hasznosnak tűnő tulajdonságát. Egy hatalmas, páratlan előnye: ebben a rendszerben felírt számok szorzása (ami, valljuk be, különösen, ha a számok igen nagyok, macerás feladat), itt egyszerű összeadással végezhető el. Megmaradva a fenti táblázatnál: 4 és 5 szorzata 20, a Sim-rendszerben ugyanez 2 és 100 összeadása, vagyis 102. El lehet képzelni, mennyire örülnének ennek a számítógépek, amelyek egy-egy komolyabb feladatnál másodpercenként milliószámra végeznek szorzást.
Ennek az előnynek van egy természetes következménye: egy szám négyzetre vagy bármilyen hatványra emelése egyszerű szorzássá szelídül. Decimálisan: 4 a másodikon 16, Sim-rendszerben 2 a másodikon 4. Igaz, az összeadás itt nehezebb ügy. Az előző példát folytatva: 2 és 100 összege 20! Miért, ki tudja?
De a Somi-számrendszernek van még egy további hihetetlen előnye. Amióta a prímszámok feltűntek, a matematikusokat módfelett deprimálja az, hogy nem ismerjük a prímszámok felbukkanásának törvényszerűségét, nincs képletünk, amely ha azt kívánjuk, megadja nekünk a 100. prímszámot. Ez most ebben a formában meg van oldva örök időkre. A századik prímszám a 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.
Itt a pillanat, amikor a szkeptikusok újra megszólalhatnak: mit is tudunk meg a fenti felírásból a századik prímről? Miért, válaszolhatnánk erre, és mit tudunk meg róla, ha ugyanezt decimálisan írnánk fel? (A vita távolról sem érdektelen, de annak nem itt a helye). Lássunk inkább egy másik érdekes táblázatot.

Decimális
Simi
Decimális
Simi
2
1
1
0
4
2
10
101
8
3
100
202
16
4
1 000
303
32
5
10 000
404
64
6
100 000
505
128
7
1 000 000 000
606
256
8
10 000 000 000
707
512
9
100 000 000 000
808
1024
(10)
1 000 000 000 000
909

A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó számítása is roppant egyszerű: a hagyományos összeadáshoz igen hasonló művelet. Egymás alá írjuk a két számot, és az első esetben az azonos helyértéken a maximumot, a második esetben a minimumot vesszük. Nem mellesleg ebben a rendszerben az egy-egy számmal való oszthatóság többé nem kérdés.
A Simi-számrendszernek látszatra egy komoly gyengéje van. Miképpen kellene leírni egy olyan számot, amelynél valamelyik prím nagyobb hatványon van, ahány számjegyünk van? Kétségtelenül, ez belezavar a számrendszer hihetetlen kényelmébe, de a probléma nem megoldhatatlan. Egy lehetséges megoldás lehetne az, ha zárójelbe tennénk a 9-nél nagyobb hatványt. Eszerint a hírhedt Googol számot, a 10100-t így írnánk le Simi rendszerben: (100)0(100).


* * *


Nincsenek megjegyzések:

Megjegyzés küldése