Carmina Burana - A magyarországi Waldorf-iskolák egyesített diákkórusa

* * *

A Fibonacci sorozatcsalád 2.

A fenti felfedezés után indokoltnak láttam az út folytatását. Két irányt láttam, és világos volt, hogy mind a kettőt ki kell próbálni.

Az egyik gondolat az volt, hogy váltsunk az előjeles tényező kitevőjének páros-páratlan jellegén, vagyis az ne F(n-2)+F(n-1) legyen, hanem F(n-2)+F(n-1)+1. Világos, hogy ez mindig az ellenkezőjére váltja az első tag előjelét, hiszen ha F(n-2)+F(n-1) páros, akkor F(n-2)+F(n-1)+1 páratlan és fordítva.

A másik irány az volt, hogy ilyen előjelváltó tényezőt a második tag elé is tegyünk.

Ez azt jelenti, hogy ha mind a két szempontból variálunk, 9 esetet kapunk, hiszen két különböző helyre három lehetőség közül egyet tehetünk.

Ez a három lehetőség és jelölésük:

X       –       semmi

0       –       F(n-2)+F(n-1)

1       –       F(n-2)+F(n-1)+1

E jelölések felhasználásával az első felfedezett sorozatot F0X-szel kellene jelölni. Tehát például az F11 képzési szabálya

F11(n)=((-1)^(F11(n-2)+F11(n-1)+1))* F11(n-2)+ ((-1)^(F11(n-2)+F11(n-1)+1))*F11(n-1)

Nyilvánvalóan ezekkel a jelölésekkel FXX nem más, mint az eredeti klasszikus sorozat.

De ami a lényeg: mind a 8 új alternatív sorozat periodikus, egy fölöttébb érdekes kivétellel. Az „utolsó”, éspedig a fent részletesen kiírt F11 sorozat pontosan fordítva viselkedik, mint a többiek, vagyis nála az Achilles-sarok az, hogy periodikus, egyéb esetben „majdnem” úgy viselkedik, mint egy „rendes” Fibonacci sorozat – de nem egészen, ugyanis megint csak periodikusan „kilő” egy-egy tagot, így a sorozat nem mondható monotonnak sem. Hasonló „anomális” figyelhető meg az F01-nél, ami kissé meglepő.

Lássuk most együtt a kilenc családtagot.

A felfedezés még egészen friss. Tekintettel arra, hogy maguk az új alternatív sorozatok alapvetően periodikusok, fix rövid periodussal, a szkeptikus hozzáállás azt sugallhatja, hogy itt nem lesz sok keresnivalónk. De az én tapasztalatom az, hogy a matematikusok jellemzően kíváncsi emberek, és nem szkeptikusok. Így nem csodálkoznék, ha ez a viszonylag tág és vélhetően szűz terület sokakat vonz majd, és hamarosan ömlenek az érdekesnél érdekesebb eredmények.

Sok szerencsét mindenkinek!

Pingala, I. e. 2. század

A számok

* * *

Attila József, pauvre magyar

* * *

A Fibonacci sorozatcsalád 1.

A Fibonacci sorozat régóta és széleskörben ismert. Okkal megragadja a figyelmet, hiszen roppant izgalmas tulajdonságokkal rendelkezik. Így nem meglepő, hogy különféle általánosításokat is inspirált. A kérdéskörnek imponáló irodalma van, bárki könnyen hiheti, hogy ezzel kapcsolatban újat már nem igen lehet.

Igen óvatlan lenne egy ilyen kijelentés. Tudhatnánk, hogy a matematika nem fogy, és bizonyosan soha nem is fog kifogyni a kisebb-nagyobb meglepetésekből.

Jó ideje foglalkoztatnak a számsorozatok egyes kérdései, és eközben ráakadtam egy nem is olyan kis meglepetésre.

Legelőször a Fibonacci sorozat egy speciális változatát vizsgálva, egy drámai változás döbbentett meg. Nos, itt lenne az ideje, hogy a rend kedvéért elevenítsük meg a Fibonacci sorozat meghatározását, és rögzítsünk bizonyos jelöléseket.

Fibonacci sorozat azt az F(n)-nel jelölt, a természetes számokon értelmezett számsorozatot nevezzük, amelyre igaz: F(1)=1, F(2)=1 és (ha n>2) F(n)=F(n-2)+F(n-1). A meghatározás lényege az, hogy a sorozat első két tagja külön és előre meg van adva, onnantól kezdve minden következő tag az előző kettő összege. Mivel számok összeadásáról van szó (nem például osztásról), semmilyen „nehézségre” nem számíthatunk a sorozat kiszámításánál.

Nyomban látható, hogy az első két tag megadása igen „önkényes”, és ebből származik a sorozat általánosításának döntő része. Vagyis Fibonacci sorozatnak tekint minden sorozatot, amelynek első tagja a, második tagja b (a többi tagra vonatkozóan pedig érvényben marad az eredeti szabály). Ez azt jelenteni, hogy bármely (a,b) számpárhoz hozzárendelhetünk egy külön sorozatot, amelyet kézenfekvő módon F_a,b(n)-nel jelölhetünk.

Igen könnyen belátható néhány feltűnő lehetőség, mint például az, hogy ha egy adott sorozatból kiválasztunk két egymást követő tagot, és azokkal indítunk egy új sorozat, az valójában nem is lenne egészen új, ellenkezőleg az új sorozat teljesen azonos az eredetivel a két kiválasztott számtól kezdődően.

Többek között ez a tulajdonság is tette indokolttá egy sorozat esetleges előzményeinek vizsgálatát, vagyis a sorozat kiszámítását „visszafelé”. Ez nyomban egy sor új izgalmas tulajdonságok és összefüggések felfedezéséhez vezetett, de egyben megint egy általánosításnak bizonyult. Itt ugyanis a szabály ekképpen változott meg: F^*(n)=F^*(n-2)-F^*(n-1).

Mivel a kivonás ugyanolyan problémamentes művelet, mint az összeadás, nyomban kapunk egy mindkét irányban végtelen (vagyis az összes egész számon értelmezett) sorozatot, amely az egyik irányban eredeti Fibonacci sorozat, a másik irányban ilyen kivonásos (retró) sorozat.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy ilyen „keveredés” már az által is adódik, ha a sorozat két első tagjának (vagy legalább az egyiknek negatív számot választunk (aminek az általánosítások lendületében semmi nem állít akadályt).

Akár melyik irányból nézzük most már ezeket a sorozatokat, igen érdekes szabályokat figyelhetünk meg a sorozat előjeleinél: minden sorozatnál van egy sajátos „töréspont, és onnantól kezdve a sorozat az egyik irányban szigorúan növekvő vagy szigorúan csökkenő, a másik irányban viszont az előjelek szabályosan váltakoznak.

Éppen ez az előjel-váltokozás vitt arra, hogy magában az alapképletbe „csempésszek be egy előjel-váltokozást, így ezt a képletet írtam fel:

F^S(n)=((-1)^(F^S(n-2)+F^S(n-1)))* F^S(n-2)+F^S(n-1)

Nos, ez a sorozat a legnagyobb megdöbbenésemre periodikusnak bizonyult, de nem csak, ha az eredeti 1,1 kezdő tagokkal, hanem minden további kísérletemnél más kezdő számokkal. Ez pedig egy szokványos matematikai képlet esetén (amely csak az alapműveleteket, az összeadás és kivonást, a szorzást és osztást, a hatványozást és a gyökvonás használja) enyhén szólva meglepőnek tűnt.

Íme, néhány példa:

Érdekes az utolsó oszlop, ahol látszik, hogy a számsor nyomban negatívba vált, és így, „víz alatt” úszik át a túlpartra, az új ciklusba.

Igen ám, de néhány új kísérlet a felszínre hozta ennek az új tulajdonságnak a labilitását, vagyis inkább Achilles-sarkát. Az történik ugyanis, hogy ha mind a két kezdő tag – és csak akkor – páros, a sorozat elveszti priodikus jellegét, visszavált „rendes” Fibonacci-sorozatra. Annyi viszont megjegyzendő, hogy igen könnyedén veszi a szorzást bármilyen számmal, hiszen ac+bc=(a+b)c. Ebből kifolyólag minden olyan Fibonacci-sorozat egy „alap”-sorozatnak tekeinthető, amelyet a és b legnagyobb közös osztójával szoroztunk. Ha tehát az „alap” vagyis „komoly” sorozatoknál a két kezdő tag nem is lehet egyszerre páros (hisze akkor a 2 még része a legnagyobb közös osztónak). Tehát valójában ilyen szerencsétlen klón lenne képes kiesni a periodikus jellegből. Minden esetre jó tudni erről az Achillesi sarokról. Egyébként nem nehéz megérteni, miért következik ez a „visszaesés” a klasszikus formában: egyszerűen arról van, hogy két páros kezdő tag esetén a sorozat minden két szomszédos tagjának összege is páros, ez pedig generálisan blokkolja (egyessé változtatja) (-1) alapú előtagot a sorozat képzési szabályában.

De akár mi is legyen ezzel a fura kivétellel, az alapeset meglepő és érdekes. Egy sor dolog könnyen és gyorsan megállapítható, ugyanakkor vélhetően még további izgalmas kérdések is felmerülnek majd.

Az egyik legfontosabb megállapítás az, hogy a periodus hossza állandó, éspedig 6 tagból áll. Ez nem függ a kezdő tagok előjelétől, a tagok nagyságától, attól sem, hogy b nagyobb-e vagy kisebb-e, vagy esetleg egyenló a-val.

Az is állandó tulajdonság, hogy a ciklus legalább kétszer vált előjelet, vagyis legalább egy tag más előjellel van, mint a többi. Viszont, ahogy a fenti példák is mutatják, az előjelváltás akár négy tagot is áthidalhat.

Leonardo Pisano (Fibonacci), 1175-1250

A számok

* * *

Változó Világ ismeretterjesztő könyvtár és tudásszolgáltató

Változó Világ ismeretterjesztő könyvtár és tudásszolgáltató: Változó Világ Ismeretterjesztő könyvsorozat és Internet Tudásszolgáltató - Tudás-Közösség-Öröm - Történelem | Jog | Életmód | Földrajz | Kultúra | Egészség | Gazdaság | Politika | Mesterségek | Tudományok



Oldalai (2600!) most már a (Nlogger által kezelt) blogokban is megoszthatók.

K2020 – a lista magyarázata

Egy cikkben, bejegyzésben úgy jó, ha egy lista rövid. Legyen áttekinthető.

De gyakran indokolt lehet külön elmagyarázni a lista elemeit. Jelen esetben is, 2020 kihívásait felsoroló lista is igényli a részletesebb kifejtést, különös tekintettel arra, hogy van rajta egypár olyan fogalom, amellyel ritkán vagy egyáltalán nem találkozunk a közbeszédben, legalább így elnevezve.

A rend kedvéért sorra vesszük az összes kihívás, az eredeti sorrendben, megismételve, hogy ez utóbbinak nincs akkora jelentősége, hogy külön vitát érdemeljen.

A háború veszélye – Két szörnyű világháború után döbbenetes azt látni, hogy továbbra is fennáll egy újabb, harmadik világháború veszélye, Mégis így van, és ez egyszerűen megkérdőjelezi a Homo Sapiens alkalmasságát a civilizáció továbbvitelére. Végtelenül cinikus, de főleg téves az az önámítás, hogy világháború „igazán” senki nem akar, így valószínűleg ilyen nem is lesz, a kisebb „lokális” háborúk pedig szinte elkerülhetetlenek a meglévő hatalmas érdekütközések mellett. A legkisebb háború is önmagában az emberiség elleni bűncselekmény, de egyúttal végzetes kockázat egy világháborúba torkolló eszkalációra.

A környezet (levegő, víz, talaj, élelmiszerlánc) megmérgezése – A józanész hajlamos azt feltételezni, hogy ez a kihívás a legkevésbé igényli a bemutatást, de látva az emberek közömbösségét, sürgősen stratégiát kellene váltani. Azt kellene tudatosítani, hogy teljesen nyilvánvalóan jelenlegi formájában az emberi tevékenység mérgezi a levegőt, a Föld teljes vízkészletét, a szárazföld felszínét (részben az urbanizáció, részben a szeméttermelés révén), de különösen a termőtalajt (a mértéktelen vegyszerezés révén). A különféle vegyszerek irdatlan mennyisége mellett, jó ideje a különféle műanyagok és azok bomlástermékei mérgezik totálisan a levegőt, a vizet és a földet, így a teljes élelmiszerláncot.

Pandémia-veszély – Bizonyára elég felsorolni: AIDS, madár- és sertés-influenza, Lime-kór, Ebola, hogy világos legyen a probléma súlya. Közben folyamatosan érkeznek hírek vutáló vírusokról és baktériumokról, legyőzöttnek hitt fertőző betegségek visszatéréséról.

A társadalmi egyenlótlenségek növekedése – A különbség a leggazdagabbak és a legszegényebbek között döbbenetes, erkölcstelen és robbanásveszélyes állapotokat eredményez.

A sötétség veszélye – Szokás sötét középkorról beszélni, de helyesebb lenne sötét múltról beszélni, ahol az igazi szellemi világosság ritka kegy volt. Sokan és sokáig harcoltak érte, és az utóbbi évszázadokban reménykeltő sikereket értünk el. Sajnos jó ideje ez a világosság újra vesztésre áll. Régi és új árnyékok állják el a fényt. Végzetes lenne, ha visszazuhannánk a sötétségbe.

A MI veszélye – A mesterséges intelligencia attól mesterséges, hogy emberi. Emberi termék, mint az atomerőmű és mint az atombomba. A különbség az, hogy az atomenergiára eddig főleg ezt a két alkalmazást találtuk ki, a MI-nak már most sok száz alkalmazása bontogatja szárnyait. További fejlemény, hogy ez a MI testet is ölt: robottestet. És hamarosan annyi robot lesz a Földön, ahány ember.

A bűnözés veszélye – Biasz, a nagy ókori bölcs szerint az emberek többsége rossz. Nagyobb gond, hogy a rossz emberek jelentős része bűnöző. A bűnözés olyan régi mesterség, mint a prostitúció. Reagan amerikai elnök bevallása: „Azt mondják, a politika a második legősibb mesterség. Meg kell, hogy mondjam, engem nagyon emlékeztet a legősibbre.” Sajnos, ez tévedés. A politikus és a prostituált erkölcstelensége ég és föld. A politika és bűnözés egyre jobban fonódik össze, minden szinten, és emiatt ezt a kihívást akár a legsúlyosabbnak is mondhatnánk.

A klímaváltozás veszélye – A földi klíma az egyik legcsodálatosabb és egyben az egyik legbonyolultabb dolog, amit ismerünk. Jelenlétünk itt a Földön már érthető módon hatással van rá. Ettől sokan többé-kevésbé jogos pánikba esnek és beavatkozást sürgetnek. Csak arra kell vigyázni: mindig, amikor jóakaró emberek megváltó ötletekkel jöttek, komoly bajok, vagy akár tragédiák keletkeztek, és hamar át kellett adni helyüket az üzletembereknek

Ez a rövid összeállítás csak világosabbá kívánta tenni, mire gondoltam, amikor felsoroltam 2020 kihívásait. A munkát most azzal kellene folytatni, hogy egyenként vesszük elő ezeket a kihívásokat, megpróbálni azonnal a cselekvési programra térni.

Ez a folytatás a szándékom.

* * *

2020 – a kihívások

Itt az új év. Hát akkor, munkára fel!

Ki-ki eldönti, mi a legfontosabb számára az ő életében. De gondolkozzunk el közösen, mi a közös feladatunk közös életünkben most és itt, ezen a Földön! Közben ne is legyen kétségünk, hogy akárhány és akármennyire heves közöttünk az individualista, közös életünk, közös feladataink, közös felelősségünk van.

Szavakban ezt nem sokan vitatják, talán éppen ellenkezőleg: sok, néha igen hangos a szó. Mindig csak a tettel van gond, gyaníthatóan ésszerű program hiánya miatt. Mert ha lenne ésszerű cselekvés program, sokan látnának munkához, nem várva másokra.

Igen, ezek a hangos, gyakran az elmét is megzavaró szavak! Bizonyára fölösleges emlékeztetni a milliós tömegekre, akik elszántan skandálják szinte az egész világon: „Klímaválság! Tegyünk ellene!”

Rendben! Tegyünk! Mit?

De mielőtt ide tódítanánk össze szellemi és cselekvési kapacitásunkat, próbáljuk végig gondolni a legnagyobb kihívásokat, amelyek 2020-ban (is) napirenden lesznek!

Íme, a lista, ahogy én látom.

A háború veszélye

A környezet (levegő, víz, talaj, élelmiszerlánc) megmérgezése

Pandémia-veszély

A társadalmi egyenlótlenségek növekedése

A sötétség veszélye

A MI veszélye

A bűnözés veszélye

A klímaváltozás veszélye

Mint minden hasonló lista, ez is alkalmat adhat végnélküli vitákra: miért ezek, miért nem mások, miért ebben a sorrendben stb. Az értelmes vitákat nem hátráltatva, a sorrenden el nem akadva, célunk és szándékunk minél előbb konkrét cselekvési programot felvázolni, számítva minden tenni akaró emberre.

Nem majd.

Most!

* * *