Egy matematikai sejtés

Sejtésem szerint minden természetes, vagyis pozitív egész szám előállítható mint egy egész szám négyzetének és legfeljebb két prímszámnak az összege.

Ebben az esetben fontos (hiszen ellenkező esetben nem igaz a sejtés), hogy az 1-et is a prímek közé számítsuk. (Személyes álláspontom az, hogy az 1-et mindenképpen prímnek kell tekinteni, de megtartva, sőt, mégy gyarapítva a megkülönböztetéseket: 1-nél nagyobb, illetve 2-nél nagyobb prímekről beszélve. Hagyománytiszteletből indokolt az 1-nél nagyobb prímeket hívni, a kettőnél nagyobbakat lehetne nagy prímeknek hívni, az 1-et is magába foglaló halmaz tagjait pedig nevezhetjük abszolút prímeknek. 1 nem csak azért érdemli meg a tiszteletet, mert minden szám őse, hanem mert teljesíti a prímszám legtermészetesebb meghatározását, miszerint p prím, ha ab=p-ből az következik, hogy vagy a=1 és b=p, vagy fordítva.)

Lássunk néhány példát, amely értelemszerűen csak alátámasztja, de nem bizonyítja a sejtést.

1 = 1 + 0²

2 = 1 + 1²

3 = 3 + 0²

4 = 3 + 1²

5 = 5 + 0²

6 = 5 + 1²

7 = 7 + 0²

8 = 7 + 1²

9 = 5 + 2²

10 = 1 + 3²

100 = 19 + 9²

1000 = 919 + 9²

10000 = 199 + 99²

123 = 2 + 11²

1234 = 1009 + 15²

12345 = 1109 + 106²

Könnyen megfigyelhető, hogy sok esetben a szám többféleképpen állítható elő. Például:

12345 = 1109 + 106² = 2741 + 98²

Érdekes tény, hogy a természetes számok túlnyomó része előállítható egy négyzet és egy prím összegeként, de akadnak „nehéz” esetek, amelyeket csak két prím segítségével lehet megoldani.

Az eddigi – mások által is jelzett – eredmények szerint 100-ig hat kivétel van.

25 = 5 + 19 + 1²

34 = 11+ 23 + 0²

58 = 3 + 53 + 1²

64 = 11 + 53 + 0²

85 = 31 + 53 + 1²

91 = 2 + 89  + 0²

A 100 és 1000 közé eső „nehéz” esetek: 121, 130, 169, 196, 214, 289, 324, 370, 400, 526, 529, 625, 676, 706, 771, 784, 841. Látható, hogy ezek gyakorisága meredeken csökken, de vélhetően ezek nem „fogynak ki”. Azt gyanítom például, hogy a

2^2(2k+1)

alakú számok mind nehéz esetek. (Bizonyára jó lenne valami nevet adni a kétféle természetes számnak.)

Felmerült-e már régebben ez a sejtés, nem tudom. Ezért sem akartam még „nevet” adni neki (ami nem fontos, de kényelmes, ha említjük).

Azt viszont – sajnos – biztosra veszem, hogy ezt az állítást ugyanúgy nem lehet bebizonyítani, mint a híres Goldbach-sejtés (aminek szerintem semmi köze a Gödel-féle „nemteljességi” tételhez, hanem a prímek misztikumának köszönhetjük).

Ilyen a világunk.

2019. március 3. Szimeonov Todor

* * *